\documentclass[oneside,reqno]{report}	%reqno permite enumerar la ecuación a la derecha.
\usepackage[left=2.5cm,top=2cm,right=2.5cm,bottom=2cm]{geometry}	%Paquete para editar tamaño de encabezado, pie de página y márgenes.
\usepackage[utf8]{inputenc}
\renewcommand{\rmdefault}{phv} % Arial
\renewcommand{\sfdefault}{phv} % Arial
\usepackage[spanish,english,es-tabla]{babel}	%Paquete para realizar la compilación del formato en otros idiomas.
\usepackage{graphicx}		%Paquete para inserción y modificación de imágenes.
\usepackage{hyperref}		%Paquete para inserción de hipervínculos.
\usepackage{t1enc}
\usepackage{rotating}
\usepackage{array}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{url}
\usepackage[compact]{titlesec}
\usepackage{times}
\usepackage{pdfpages}		%Paquete para añadir PDFs.
\usepackage{amsmath}		%Paquete para utilizar matrices.
\usepackage{parcolumns}
\usepackage[capitalise, noabbrev]{cleveref}	%Paquete para personalizar referencias.

%NOTE TO SELF: In order to prevent problems with figure 5.5.1 instead of simply figure 5.1, use ~ before ~\ref such as ~/ref.

\newcommand{\degree}{\ensuremath{^\circ}}	%Este comando permite añadir grados Celsius tecleando \degree.

%******************Elimina la palabra CHAPTER/CAPÍTULO del encabezado.*****************
\makeatletter
\def\@makechapterhead#1{%
  \vspace*{50\p@}%
  {\parindent \z@ \raggedright \normalfont
    \interlinepenalty\@M
    \Huge\bfseries  \thechapter.\quad #1\par\nobreak
    \vskip 40\p@
  }}
\makeatother
%**************************************************************************************

%******************************Paquete para hipervínculos******************************
\usepackage{xcolor}
\definecolor{dark-red}{rgb}{0.4,0.15,0.15}
\definecolor{dark-blue}{rgb}{0.15,0.15,0.4}
\definecolor{medium-blue}{rgb}{0,0,0.5}
\hypersetup{
    colorlinks, linkcolor={dark-red},
    citecolor={dark-blue}, urlcolor={medium-blue}
}
%**************************************************************************************


%************************Paquetes para elaboracion del apendice.***********************
\usepackage[page,header]{appendix}
\usepackage{titletoc}
%**************************************************************************************

\usepackage{color}
\definecolor{gray97}{gray}{.97}
\definecolor{gray75}{gray}{.75}
\definecolor{gray45}{gray}{.45}

%**************************************Paquete para introducir código fuente********************************************
\usepackage{listings}
\lstset{ frame=Ltb,
     framerule=0pt,
     aboveskip=0.5cm,
     framextopmargin=3pt,
     framexbottommargin=3pt,
     framexleftmargin=0.4cm,
     framesep=0pt,
     rulesep=.4pt,
     backgroundcolor=\color{gray97},
     rulesepcolor=\color{black},
     %
     stringstyle=\ttfamily,
     showstringspaces = false,
     basicstyle=\small\ttfamily,
     commentstyle=\color{gray45},
     keywordstyle=\bfseries,
     %
     numbers=left,
     numbersep=15pt,
     numberstyle=\tiny,
     numberfirstline = false,
     breaklines=true,
   }
 
% minimizar fragmentado de listados
\lstnewenvironment{listing}[1][]
   {\lstset{#1}\pagebreak[0]}{\pagebreak[0]}
 
\lstdefinestyle{consola}	%Se define el estilo consola.
   {basicstyle=\scriptsize\bf\ttfamily,
    backgroundcolor=\color{gray75},
   }
 
\lstdefinestyle{C}		%Se define el estilo para lenguaje C.
   {language=C,
   }
   
\definecolor{lightgray}{RGB}{216,216,216}

\lstset{
   language=Java,
   breakatwhitespace=false,
   backgroundcolor = \color{white},
   extendedchars=true,
   basicstyle=\footnotesize\ttfamily,
   showstringspaces=false,
   showspaces=false,
   numbers=left,
   numberstyle=\footnotesize,
   numbersep=9pt,
   tabsize=2,
   breaklines=true,
   showtabs=false,
   captionpos=b
}
%*********************************************************************************************************************************


\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\usepackage{lipsum}          % body text

\usepackage{layout}          % display page dimensions
%\AtBeginDocument{\layout*}  % uncomment this line *OR*
\geometry{showframe=false}    % uncomment this line (best if not both)

%***********************************Redefine el abstract para poder usar 2 en una misma página**********************************
\makeatletter
\if@titlepage
  \renewenvironment{abstract}{%
      \thispagestyle{empty}
      \setcounter{page}{0}
      \null\vfil
      \@beginparpenalty\@lowpenalty
      \begin{center}%
        \bfseries \abstractname
        \@endparpenalty\@M
      \end{center}}%
     {\par\vfil\null}
\else
  \renewenvironment{abstract}{%
      \if@twocolumn
        \section*{\abstractname}%
      \else
        \small
        \begin{center}%
          {\bfseries \abstractname\vspace{-.5em}\vspace{\z@}}%
        \end{center}%
        \quotation
      \fi}
      {\if@twocolumn\else\endquotation\fi}
\fi
\makeatother
%****************************************************************************************************************************

\begin{document}\thispagestyle{empty}
\setlength{\unitlength}{1.1 cm} %Especificar unidad de trabajo
\begin{picture}(16,4)
\put(0,0){\includegraphics[width=3cm,height=3cm]{LogoUPV}}
\put(11.5,0){\includegraphics[width=3cm,height=3cm]{LogoPolis.png}}\end{picture}
\\
\\
\begin{center}
\selectlanguage{spanish}
\textbf{{\Huge INDUCCIÓN MATEMÁTICA}}\\[1cm]
{{\LARGE EJERCICIOS}}\\[1cm]
{\Large Asignatura: Métodos matemáticos}\\[1cm]
{\Large Profesor: Dr. Manuel Benjamín Ortiz Moctezuma}\\[1cm]
{\Large Alumno: Ángel Arturo Ramírez Suárez}\\[1cm]
{\large Maestría en Ingeniería}\\[0.5cm]
{\large Fecha: Viernes 12 de septiembre del 2014}\\[1cm]
Cd. Victoria, Tam. %- \today
\end{center}

%************************THIS IS THE INDEX*******************************
\selectlanguage{spanish}
\tableofcontents
%************************************************************************

%************************THIS IS THE ABSTRACT****************************
\newpage
\begin{abstract}
  Se presenta una serie de ejercicios de inducción matemática con el propósito de reforzar los conocimientos adquiridos en clase
  respecto a el uso de técnicas de inducción para la comprobación de teoremas y expresiones matemáticas.
\end{abstract}

%************************************************************************
\chapter{EJERCICIOS.}
\textbf{INSTRUCCIONES.}\\
Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método de inducción matemática.\\

\begin{enumerate}
 \item Demostrar que:
 \begin{equation}
  S_n := 1 - 2^2 + 3^2 -4^2 + ... + (-1)^{n-1} n^2 = (-1)^{n-1} \frac{n(n-1)}{2}
 \end{equation}

 \newpage
 \item Demostrar que:
 \begin{equation}
  S_n := 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n -1)(2n + 1)}{3}
 \end{equation}

 \newpage
 \item Demostrar que:
 \begin{equation}
  S_n := \frac{1}{1 * 3} + \frac{1}{3 * 5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n}{2n + 1}
 \end{equation}

 \newpage
 \item Probar que la suma de los cubos de los primeros $n$ enteros positivos es igual a:
 \begin{equation}
  { \left[ \frac { { n(n+1) }^{ 2 } }{ 2 }  \right]  }^{ 2 }
 \end{equation}
 
 \newpage
 \item Probar que:
 \begin{equation}
  S_n = 1 + x + x^2 + ... + x^n = \frac{x^{n+1} - 1}{x-1}, (x\neq1)
 \end{equation}

 \newpage
 \item Demostrar que:
 \begin{equation}
  1 * 3 + 2 * 3 + 3 * 4 + ... + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}
 \end{equation}

 \newpage
 \item Demostrar que:
 \begin{equation}
  1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + 3 * 4 * 5 + ... + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}
 \end{equation}
 
 \newpage
 \item Demostrar que:
 \begin{equation}
  S_n = \frac{1}{1 * 3} + \frac{1}{3 * 5} + ... + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}
 \end{equation}

 \newpage
 \item Demostrar que:
 \begin{equation}
  S_n = \frac{1^2}{1 * 3} + \frac{2^2}{3 * 5} + ... + \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)}
 \end{equation}

 \newpage
 \item Demostrar que:
 \begin{equation}
  u_n = \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\alpha - \beta}
 \end{equation}
 
 si se sabe que:
 
 \begin{equation}
  u_1 = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha - \beta}, u_2 = \frac{\alpha^3 - \beta^3}{\alpha - \beta}, (\alpha \neq \beta),
 \end{equation}

 y si para cualquier $k > 0$ se cumple:
 
 \begin{equation}
  u_k = (\alpha + \beta)u_{k-1} - \alpha \beta u_k-2
 \end{equation}


\end{enumerate}


%*************************************************El apéndice*********************************************************
%Aquí se introducen códigos, circuitos o ecuaciones relacionadas con el tema que no tengan cabida en el desarrollo.
\begin{appendix}
 \appendix
%**************************************************************************************
\end{appendix}
%*********************************************************************************************************************
%List of figures.
%\newpage
%\listoffigures
%\listoftables
%*********************************************************************************************************************

\chapter{GLOSARIO.}
\begin{itemize}
 \item \textbf{Inducción matemática.}\\
 Razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable $n$ que toma una infinidad de valores enteros
 \cite{Wiki}.
\end{itemize}

\begin{thebibliography}{100}
 \bibitem{Wiki}Wikipedia: inducción matemática. Visto por última vez: 11 de septiembre del 2014.\\
 \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci\%C3\%B3n_matem\%C3\%A1tica}
\end{thebibliography}

\end{document}          